Gabriels horn

Gabriels horn er den figur der fremkommer, når man drejer grafen for ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ for ${\displaystyle x\geq {1}}$ 360 grader omkring x-aksen. Ved brug af infinitesimalregning kan rumfanget og overfladearealet beregnes:

${\displaystyle V(a)=\pi \int _{1}^{a}{1 \over x^{2}}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{1 \over a}\right)}$

${\displaystyle A(a)=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1}}{x}}\ \mathrm {d} x=2\pi \ln a}$

a kan være et hvilket som helst tal ${\displaystyle \geq {1}}$. For a gående mod uendelig vil rumfanget nærme sig ${\displaystyle \pi }$, mens overfladearealet går mod uendelig:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V(a)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi }$

Overfladearealet vil ved store værdier af a blive uendelig stor:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A(a)=\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty }$