Gauss–Seidel-metoden

Et lineært ligningssystem er givet ved:

${\displaystyle Ax=b}$

hvor ${\displaystyle A}$ er en ${\displaystyle n\times n}$-matrix , ${\displaystyle b}$ er en ${\displaystyle n\times 1}$-vektor, og ${\displaystyle x}$ er en ubekendt ${\displaystyle n\times 1}$-vektor. For at løse for ${\displaystyle x}$ skal ${\displaystyle A}$ inverteres, men det kan være svært eller umuligt. I stedet deler man i Gauss–Seidel-metoden ${\displaystyle A}$ op i to matricer

${\displaystyle A=L+U\qquad {\text{hvor}}\qquad L={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$

Dermed bliver ligningssystemet:

${\displaystyle {\begin{aligned}Lx+Ux&=b\\Lx&=b-Ux\end{aligned}}}$

Ved at invertere ${\displaystyle L}$ kan metoden formelt skrives som

${\displaystyle x_{k+1}=L^{-1}(b-Ux_{k})}$

hvor ${\displaystyle x_{k}}$ er en iteration, og ${\displaystyle x_{k+1}}$ er den næste iteration.

I praksis er metoden dog bedre gengivet elementvist som: [1]

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots ,n.}$