Lagrange-multiplikator

En Lagrange-multiplikator bruges til at finde ekstrema - dvs. maksimum eller minimum - for en funktion givet en til flere sidebetingelser.[1]

Illustration af et optimeringsproblem med to variable

x

og

y

og med en sidebetingelse. Den røde kurve er betingelsen

g

. De blå kurver er derimod konturer for funktionen

f

. Det ses, at punktet, hvor rød og blå tangerer, er det optimale punkt.

Metoden

$f$ kan være en funktion af $N$ variable $x_{1}$ , $x_{2}$ ... og $x_{N}$ . Sidebetingelsen kan formuleres som en funktion $g$ , der skal være lig med nul:

g(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0

Funktionen $f$ er maksimeret eller minimeret uden sidebetingelse, når gradient er nul:

\nabla f(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0

hvor $\nabla$ er nabla-operatoren. Dvs. at alle hældninger mht. alle variable skal være nul.

For at indføre sigebetingelsen benyttes det, at de to funktioner skal røre hinanden tangentielt som illustreret i figuren. Da en gradient er vinkelret på en konturlinje. Vil det sige, at de to gradienter skal være parallelle:

\nabla f\parallel \nabla g

hvilket også kan skrives som en proportionalitet:

\nabla f\propto \nabla g

Dvs. at en ny størrelse kan defineres, hvis gradient skal være nul:

$\nabla \left[f+\lambda g\right]=0$

Her er $\lambda$ en proportionalitetskonstant kaldet en Lagrange-multiplikator. Denne ligning giver et ligningssystem, som kan løses.[1]

Kildehenvisninger

Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.13 Lagrange multipliers". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 449-450. ISBN 978-0-19-856770-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[blundell_449-450-1] Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.13 Lagrange multipliers". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 449-450. ISBN 978-0-19-856770-7.