Planprodukt

Planproduktet, også betegnet determinanten, er et begreb inden for matematikken, nærmere betegnet vektorregning. Planproduktet er en skalar, der udelukkende er defineret for vektorer i planen, og er lig arealet af det udspændte parallelogram regnet med fortegn. Fortegnet angiver, om parret af vektorer er positivt eller negativt orienteret. Planproduktet noteres undertiden med [ , ] [1]. Formlen for planproduktet mellem to vektorer er angivet nedenfor.

${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]=\det({\vec {a}},{\vec {b}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.=\Vert {\vec {a}}\Vert \Vert {\vec {b}}\Vert \sin(\theta )}$

— hvor ${\displaystyle \theta }$ er vinklen fra ${\displaystyle {\vec {a}}}$ til ${\displaystyle {\vec {b}}}$. Planproduktet er således et andet navn for determinanten af 2 vektorer.

Resultatet af planproduktet er et tal (skalar) ligesom prik/skalarproduktet, modsat krydsproduktet, hvor resultatet er en vektor. Planprodukt og prikprodukt er relaterede ved formlerne

${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]={\hat {a}}\bullet {\vec {b}}}$

og

${\displaystyle {\vec {a}}\bullet {\vec {b}}=[{\vec {a}},{\hat {b}}].}$

Planprodukt og prikprodukt kan således defineres ud fra hinanden ved hjælp af tværvektor.

Planproduktet er en alternerende bilinearform, idet ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]}$ for alle vektorer ${\displaystyle {\vec {a}}}$ og ${\displaystyle {\vec {b}}}$. I 2 dimensioner er enhver alternerende bilinearform er proportional med planproduktet.