Euler-Lagrange-ligning

En Euler-Lagrange-ligning er en partiel differentialligning, for hvilken det gælder, at løsningen er en mængde af funktioner, som opfylder at den første afledte for en given funktional (se funktional-afledte) er lig nul. Euler-Lagrange-ligningen optræder bl.a. inden for analytisk mekanik som betingelsen for stationering af virkningsfunktionalen for et givent mekanisk system.

Givet et funktional på formen

${\displaystyle J[q_{1},...,q_{n}]=\int _{a}^{b}L(x,q_{1}(x),...,q_{n}(x),q'_{1}(x),...,q_{n}'(x))dx}$

da er den første funktional-afledte mht.${\displaystyle q_{i}}$ ved ${\displaystyle x}$ givet ved:

${\displaystyle {\delta J \over \delta q_{i}(x)}={\partial L \over \partial q_{i}}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} x}{\partial L \over \partial q'_{i}}}$

${\displaystyle J}$ er stationær, når den funktional-afledte er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås:

Hvis ${\displaystyle L}$ ikke eksplicit afhænger af ${\displaystyle x}$, reduceres ligningen til Beltrami-identiteten:

${\displaystyle L-q'_{i}{\partial L \over \partial q'_{i}}=C_{i}\quad \forall i}$

hvor ${\displaystyle C_{i}}$ er konstant.^[1]

Et funktional på formen

${\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(x,q,q')dx}$

skal stationeres:

${\displaystyle \delta J=\delta \int _{a}^{b}L(x,q,q')dx=0}$

Variationen i ${\displaystyle J}$ kan skrives ved variationerne i ${\displaystyle q}$ og ${\displaystyle q'}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}\delta q+{\partial L \over \partial q'}\delta q'\right]dx=0}$

(1)

hvor

${\displaystyle \delta q'\equiv {\frac {d}{dt}}\left(\delta q\right)}$

Det kræves desuden, at variationen i hver ende er nul:

${\displaystyle \delta q(a)=\delta q(b)=0}$

(2)

Pga. produktreglen gælder:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\delta q\right)={\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q+{\partial L \over \partial q'}{\frac {d}{dt}}\left(\delta q\right)}$

Og dermed:

${\displaystyle {\partial L \over \partial q'}{\frac {d}{dt}}\left(\delta q\right)=-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q+{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\delta q\right)}$

Dette indsættes i lign. 1, og integralet splittes op:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}\delta q-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q+{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\delta q\right)\right]dx&=0\\\int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}\delta q-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q\right]dx+\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\delta q\right)dx&=0\\\int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}\delta q-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q\right]dx+\left[{\partial L \over \partial q'}\delta q\right]_{a}^{b}&=0\end{aligned}}}$

Pga. lign. 2 gælder:

${\displaystyle \left[{\partial L \over \partial q'}\delta q\right]_{a}^{b}=0}$

Derfor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}\delta q-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\delta q\right]dx&=0\\\int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial q}-{\frac {d}{dt}}\left({\partial L \over \partial q'}\right)\right]\left(\delta q\right)dx&=0\end{aligned}}}$

Integralet består nu af to faktorer. Siden integralet altid skal være nul, og det skal gælde for alle variationer af ${\displaystyle q}$, må den første faktor være nul:

Dermed er Euler-Lagrange-ligningen udledt.^[2]

Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat ${\displaystyle x}$ og med potentialet ${\displaystyle V}$ har Lagrangefunktionen:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=T({\dot {x}})-V(x)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)}$

Dvs. at den kinetiske energi er givet som for en klassisk punktmasse med massen ${\displaystyle m}$ og hastigheden:

${\displaystyle {\dot {x}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\operatorname {d} x \over \operatorname {d} \!t}}$,

mens den potentielle energi afhænger af positionen (den potentielle energi ville fx i et homogent tyngdefelt være givet på formen:

${\displaystyle V(x)=mgx}$

Systemet vil udvikle sig således at virkningen ${\displaystyle I}$ stationeres,^[3]

${\displaystyle I=\int Ldt}$

Systemets dynamik er derfor beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial \left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)\right)}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial \left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)\right)}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\dot {x}}\right)+{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$

(4)

Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i ${\displaystyle x}$-retningen, svarer 4 til Newtons anden lov.

${\displaystyle F=m{\ddot {x}}}$