Gram-Schmidt-processen

Som Eksempel ses på vektorrummet R⁴ udstyret med skalarproduktet.

Lad

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$

Det er givet at v₁, v₂ og v₃ er lineært uafhængige. Gram-Schmidt udføres:

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2})={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}-{1 \over 2}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3})={\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$

Det kan tjekkes om vektorerne er ortogonale ved at beregne de indbyrdes skalarprodukter. Eksempelvis u₁ og u₃:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\right\rangle =1-1+1-1=0,}$

Vektorerne er ortogonale da deres indre produkt er 0.

For at finde de normaliserede vektorer e₁, e₂ og e₃ gøres følgende:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$