Keglestub

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

${\displaystyle A=\pi s\,(R+r)}$

hvor:

• ${\displaystyle R}$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• ${\displaystyle r}$ er radius i den lille cirkulære endeflade.
• ${\displaystyle s}$ er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

${\displaystyle s}$ kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: ${\displaystyle R}$-${\displaystyle r}$ og c: ${\displaystyle s}$.

Altså: ${\displaystyle h^{2}+(R-r)^{2}=s^{2}}$

Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\,h\,\pi \,(R^{2}+r^{2}+R\,r)}$

hvor:

• ${\displaystyle h}$ er højden i figuren
• ${\displaystyle R}$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• ${\displaystyle r}$ er radius i den lille cirkulære endeflade.

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion ${\displaystyle y=f(x)}$ som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$, kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

${\displaystyle V=\int _{a}^{b}\pi f(x)^{2}\,dx}$

For en keglestub gælder ${\displaystyle f(x)=r+x\cdot {\frac {R-r}{h}}}$ og det ønskede omdrejnings volumen findes med ${\displaystyle a=0}$ og ${\displaystyle b=h}$.

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}\pi \left(r+x\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}\left(r^{2}+x^{2}\cdot \left({\frac {R-r}{h}}\right)^{2}+2\cdot r\cdot x\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)\,dx}$

${\displaystyle V=\pi \left.\left(x\cdot r^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}\cdot \left({\frac {R-r}{h}}\right)^{2}+2\cdot r\cdot {\frac {1}{2}}x^{2}\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)\right|_{0}^{h}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\,\pi \,h\,\left(R^{2}+r^{2}+R\,r\right)}$

Volumenet for en keglestub-skal med konstant tykkelse kan ud fra ovenstående vises at være

${\displaystyle V=\pi \,h\,t\,(R+r-t)}$

hvor:

• ${\displaystyle t}$ er skallens tykkelse målt parallelt med bunden og toppen.
• ${\displaystyle R}$ og ${\displaystyle r}$ er keglestubben udvendige mål

Hvis tykkelsen er målt vinkelret på skallens overflade skal ${\displaystyle t}$ erstattes med

${\displaystyle t=T\,{\frac {\sqrt {(R-r)^{2}+h^{2}}}{h}}}$

hvor:

• ${\displaystyle T}$ er skallens tykkelse målt vinkelret på den skrå overflade.

• Pyramidestub

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Stubbe

• http://www.analyzemath.com/Geometry/conical_frustum.html
• problem på volumen af en trunkeret elliptisk kegle (engelsk)