Maxwells ligninger

Uddybende artikel: Gauss' lov

Gauss' lov udtrykker sammenhængen mellem elektrisk ladning og det elektriske felter. Denne kan udtrykkes på integralform således:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV={\frac {q_{enc}}{\varepsilon _{0}}}.}$

I matematisk terminologi er integralet af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede ladning ${\displaystyle q_{enc}}$. Ladningen er ladningstætheden ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ integreret over det omsluttede volumen

${\displaystyle q_{enc}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV.}$

Ækvivalent er divergensen af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet lig den lokale ladningstæthed divideret med vakuumpermittiviteten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ . Dette kan udtrykkes således:^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$

Coulombs lov, der beskriver det elektriske felt fra elektriske ladninger, kan udledes af Gauss' lov.

Loven kan illustreres ved at forestille sig en gammeldags glødepære: Det lys, der strømmer ud gennem glasset i pæren, må svare til hvor kraftig en lyskilde, der er inde i glasset.

Uddybende artikel: Gauss' lov om magnetisme

Gauss' lov om magnetisme udtrykker tilsvarende en sammenhæng for et magnetisk felt. Da der imidlertid (så vidt vides) ikke findes magnetiske monopoler, er den del der svarer til den elektriske ladning i Gauss' lov lig nul. Man kan jf. integralformen sige, at den samlede flux af det magnetiske felt igennem en lukket flade er lig nul. Heraf fremkommer det, at der ikke findes magnetiske monopoler. Matematisk udtrykkes dette:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$

I matematisk terminologi er integralet af ${\displaystyle \mathbf {B} }$-feltet over en lukket flade lig nul. ${\displaystyle \mathbf {B} }$-feltet siges også at være divergensfrit, da loven på differentialform siger at divergensen af ${\displaystyle \mathbf {B} }$ altid er nul:^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

I billedet med den gammeldags glødepære er pæren altid slukket; dvs. alt lys er kommer ind gennem glasset kommer også ud igen, og bidragene "ind" og "ud" går lige op.

Uddybende artikel: Faradays induktionslov

Faradays induktionslov fastlægger sammenhængen mellem det elektriske felt og det magnetiske felt. Loven beskriver hvordan et elektrisk felt rundt i en lukket sløjfe (f.eks. et stykke ledning) giver anledning til en magnetisk flux gennem kredsløbet. Sammenhængen virker også den modsatte vej (induktion): hvis den magnetiske flux gennem sløjfen ændrer sig, giver det anledning til et elektrisk felt. Matematisk udtrykkes dette:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} .}$

I matematisk terminologi er integralet af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet over en lukket kurve lig den tidslige ændring af ${\displaystyle \mathbf {B} }$-feltets flux gennem en flade der har kurven som rand.

På differentialform giver loven sammenhængen mellem rotationen af ${\displaystyle \mathbf {E} }$ og den tidsafledte af ${\displaystyle \mathbf {B} }$:^[1]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Faradays lov er basis for alle fænomener der beror på induktion, f.eks. transformatorer: Opbygges en spænding i den ene spole, skabes et magnetfelt, der giver en spænding i den anden spole.

Uddybende artikel: Ampères lov

Ampères lov giver relationen mellem elektrisk strøm og magnetisk felt: Det magnetiske felt ${\displaystyle \mathbf {B} }$ summeret op (integreret) over en lukket kurve giver strømmen gennem den lukkede kurve. Maxwell indså at denne formulering ikke var komplet, og tilføjede et sekundært led der viser at ændringer i tid af det elektriske felt ${\displaystyle \mathbf {E} }$ også giver anledning til et magnetfelt. Matematisk udtrykkes dette:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} .}$

I matematisk terminologi er kurveintegralet af ${\displaystyle \mathbf {B} }$-feltet over en lukket kurve proportionel med summen af fluxen af strømtætheden og den tidsafledte af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet gennem en flade der har kurven som rand.

På differentialform giver loven sammenhængen mellem rotationen af ${\displaystyle \mathbf {B} }$ og strømtætheden, med Maxwells tilføjelse:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Bemærk at ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=1/c^{2}}$, hvor ${\displaystyle c}$ er lysets hastighed.^[1]

Samlet udtrykkes Maxwells fire ligninger på vektorform på følgende måde:

Navn	Differentialform	Integralform
Gauss' lov:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV}$
Gauss' lov om magnetisme (i fravær af magnetiske monopoler):	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$
Faradays induktionslov:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }$
Ampères lov (med Maxwells udvidelse):	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

I materialer udtrykker Gauss' lov sammenhængen mellem frie ladninger og det elektriske forskydningsfelt. På integralform skrives

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho_f dV = q_{f}.}

I matematisk terminologi er integralet af Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf{D}} -feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede frie ladning Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle q_{f}} . Ladningen er ladningstætheden Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \rho_f(\mathbf r,t)} integreret over det omsluttede volumen Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle V}

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle q_{f}=\int_V \rho_f(\mathbf r) dV.}

På differentialform bliver loven:^[2]

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f.}

Gauss' lov om magnetisme er uændret i makroskopiske materialer, og skrives stadig med Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf E} - og Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf B} -felterne som

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0,}

eller på differentialform som:^[2]

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0.}

Faradays induktionslov er også uændret. På integralform:^[2]

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac{d}{d t} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A},}

og differentialform:^[2]

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}.}

Ampères lov giver forholdet mellem den magnetiske intensitet Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf H} og frie strøm Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf J_f} . Desuden optræder forskydningsstrømmen

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf J_D = \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}, }

som Maxwell tilføjede til Ampères lov for at få den til at stemme overens med eksperimenter. På integralform er loven:

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J_f} \cdot d \mathbf{A} + \frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}.}

På differentialform er loven:^[2]

Fejl i matematikken (MathML med SVG- eller PNG-fallback (anbefalet til moderne browsere og værktøjer): ugyldigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") fra serveren "http://localhost:6011/da.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J_f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}.}

Samlet udtrykkes Maxwells fire ligninger (for makroskopiske materialer) på vektorform på følgende måde:

Den nedenstående tabel forklarer de enkelte symboler der indgår i Maxwells ligninger og giver SI-enheden for hver enkelt (vektorstørrelser er med fed skrift, skalarer i kursiv):